Potencia de un punto respecto de una circunferencia

Considérese una circunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto P se trazan dos secantes a la circunferencia, obteniéndose los puntos A, A', B y B'.

El valor común  recibe el nombre de potencia del punto P respecto

de la circunferencia dada.

Demostración:

Estos dos triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo

· Aplicando la proporcionalidad de los lados homólogos en los triángulos semejantes, se tiene:

Cálculo de la potencia de un punto respecto de una circunferencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la circunferencia, d ², menos el cuadrado del radio de la circunferencia:

Demostración:

Sea O el centro de la circunferencia. La recta que une P con O, corta a la circunferencia en A y en B.

Llamando d  a la distancia  y r  al radio de la circunferencia, se tiene que

La potencia es entonces:

Obsérvese que la potencia, dependiendo de la posición del punto P respecto a la circunferencia, toma los valores:

· Positivo, si P es un punto exterior a la circunferencia (d > r)

· Cero, si P es un punto de la circunferencia (d = r)

· Negativo, si P es un punto interior a la circunferencia (d > r).

Expresión analítica de la potencia de un punto respecto de una circunferencia

La ecuación de una circunferencia es x² + y² + Ax + By + C = 0; el primer miembro se obtuvo elevando al cuadrado la distancia de un punto al centro de la circunferencia y restando el cuadrado del radio, es decir, hallando la potencia del punto respecto de la circunferencia.

Así pues, para calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuación de la circunferencia.