Problemas
planteados en diversas olimpiadas en el mundo
1. ¿Puede el número, obtenido al escribir en una fila los números del
1 al n (uno después de otro), presentar los mismos dígitos cuando es
leído de izquierda a derecha como cuando es leído de derecha a
izquierda?
2. Cierta cantidad de hombres se están moviendo con velocidad constante
en una línea recta. Se sabe que un intervalo de tiempo dado la suma de
todas las distancias mutuas entre ellos va decreciendo monotónicamente.
Probar que la suma de las distancias entre un hombre y cada uno de los
otros, en el mismo intervalo de tiempo, también va decreciendo monotónicamente.
3. Probar que al cortar una pirámide cuya base es un polígono regular
de n lados, no se puede obtener como sección un polígono regular de (n
+ 1) lados, donde n ³ 5.
4.
Probar que si a1, a2, ..., am son
numeros diferentes de cero y a1 + a2.2k
+ a3.3k + ... + am.mk = 0
para cada entero k = 0, 1, ..., n (n < m-1), entonces hay al menos n
pares de números vecinos con diferentes signos en la secuencia a1,
a2, ..., am
5.
Existen
tres números naturales, todos ellos mayores que uno, tales que el
cuadrado de cada número disminuido en uno, puede ser dividido por cada
uno de los otros números?.
6. La bisectriz CD es trazada en un triángulo isósceles ABC (AB
= BC). La recta que es perpendicular a CD y pasa por el circuncentro
de ABC corta a BC en E. La recta paralela a CD que pasa por el punto
E
corta a AB en F. Probar que BE = FD.
7. ¿Existe un conjunto
finito M de números reales no triviales, tales que para cada número
natural n, existe un polinomio de grado no menor que n con coeficientes
incluídos en M y donde todas sus raíces también están incluídas en
M?.
8. Los enteros del 1 al 100 son escritos en una fila en un orden
desconocido. Con una pregunta acerca de 50 números cualesquiera ,
nosotros podemos saber en que orden relativo uno respecto al otro estos
50 números han sido escritos. Cuántas preguntas deben ser hechas al
menos para saber en qué orden han sido escritos los 100 números?.
9.
H es el ortocentro de un triángulo agudo ABC, en A, se traza
dos tangentes AP y AQ del círculoof cuyo diámetro es BC, los puntos de
tangencia son P y Q respectivamente. Probar: P, H, Q son
colineares.
10.
S={1,2,...,50}. Encontrar el mínimo número natural k, tal que cualquiera k-elemento
del subconjunto S, hayan dos diferentes elementos a y b, a+b|ab.
11. La Función F: R a R satiface F(x3+y3)=(x+y)((F(x))2-F(x)F(y)+(F(y))2),
donde x, y son numeros naturales arbitrarios. Probar: Para número real
x, F(1996x)=1996F(x).
12.
Ocho
cantantes toman parte en un festival artístico. El organizador quiere
planear m conciertos. Para cada concierto hay 4 cantantes que salen a
escena. Restringir el tiempo para que cada dos cantantes que salgan a
escena sea siempre el mismo. Haga un diseño para que m sea el mínimo.
13.
Para el número natural n, X0=0, Xi>0,
i=1,2,..,n, and sum(i=1 to n, Xi)=1. Probar:
1 £ sum(i=1 to n, Xi/(sqr(1+X0+X1+...+X(i-1))sqr(Xi+...+Xn))
14. En
el triángulo ABC, el ángulo C=90 grados, el ángulo A=30 degrees,
BC=1. Encontrar el mínimo valorde todas los lados mas largos en el triángulo
inscrito en ABC. Un triángulo inscrito significa que todos los vértices
del triángulo pertenecen a los tres lados del triangulo ABC
respectivamente.
15.
Los números
reales X1, X2, ... , X1997 satisfacen:
1.
-1/Ö3
£ Xi £ Ö3
( i=1,2,..,1997 );
2.
X1+X2+...+X1997=
-318 Ö3.
Encontrar
el mínimo valor de X112+X212+...+X199712.
Donde Ö3
significa la raiz positiva de 3.
16.
Sea A1B1C1D1 un
cuadrilátero convexo cualquiera, P es un punto en su interior, y por
cualquier vértice del cuadrilátero, la línea que une P y los dos
lados del vértice forman dos ángulos que son agudos. Sea Ak,
Bk, Ck, Dk los puntos simétricos de P
por las líneas A(k-1)B(k-1), B(k-1)C(k-1),
C(k-1)D(k-1), D(k-1)A(k-1)
respectivamente ( k=2,3,...). Piense en la secuencia AjBjCjDj
(j=1,2,...) :
1.
Entre los 12 primeros cuadriláteros, ¿Cuál es similar al 1997mo cuadrilátero y cuál
no?
2.
Suponga que el 1997mo es un cuadrilátero inscrito, ¿Cuál
de los 12 cuadriláteros está también inscrito y cuál no?
17. Pruebe que existen infinitos números naturales n, de modo que
podamos hacer un arreglo 1,2,3,...,3n como una tabla:
A1 A2 ... An
|
B1 B2 ... Bn
|
C1
C2 ... Cn
|
satisfaga
lo siguiente:
1.
A1+B1+C1=A2+B2+C2=...=An+Bn+Cn sea divisible por 6;
2.
A1+A2+...An=B1+B2+...+Bn=C1+C2+...Cn sea también divisible por
6.
18.
El
cuadrilátero ABCD es inscrito en un círculo, Las extensiones de las líneas
AB y DC interceptan at P, las extensiones de las líneas AD y BC
interceptan a Q, trazar las dos tangentes del círculo QE y QF los
cuales E, F son sus puntos de tanhencia. Probar que: P, E, F son
colineales.
19.
A={1,2,3,...,17}. Para un mapeo uno-a-uno de F desde A hasta
A. Hacer que F1(x)=F(x), F(k+1)(x)=F(Fk(x)) (k es un número natural)
Luego hay un mapeo de uno-a-uno F que satisface que existe un número
natural M, el cual:
1.
Cuando m < M, 1 £ i £ 16,
Fm(i+1)-Fm(i)<>1 or -1 (mod 17),
Fm(1)-Fm(17)<>1 or -1 (mod 17);
2.
Cuando 1 £
i £ 16,
FM(i+1)-FM(i)=1 or -1 (mod 17),
FM(1)-FM(17)=1 or -1 (mod 17).
Para
tales mapeos F, encontrar el máximo valor de M.
20.
La secuancia n-positiva A1, A2, ... satisface An+m £
An+Am, donde m, n son números naturales.
Probar que: Para cualquier n ³ m, An £ mA1+((n/m)-1)Am.
21.
En el
triángulo dado ABC, el número real t>1. El punto P se mueve sobre
el arco BAC del circulo circunscrito. Se extiende BP, CP hasta U, V
respectivamente, donde BU=tBA, CV=tCA. Se extiende UV hasta Q, y UQ=tUV.
Encontrar el lugar geométrico del punto Q.
22.
Hay n equipos de futbol que toman parte en una competencia,
cada dos equipos juegan un partido. El ganador de un encuentro consigue
3 puntos, el perdedor consigue 0 puntos. Y en un empate, a cada equipo
se le anota 1 punto. Para asegurar que hay mas k-1 equipos cuyo puntaje
es no menos que un equipo, ¿Cuántos puntos por lo menos se debe
conseguir en la competencia?
23.
Encontrar
un número natural m, de manera tal que la secuencia
integral {Xn}:
1.
X0=1, X1=337
2.
(X(n+1)X(n-1)-(Xn)2)+(3/4)(X(n-1)+X(n+1)-2Xn)=m sea
para cada número natural n.
3.
(1/6)(Xn+1)(2Xn+1) es un número cuadrático para cada número
natural n.
24.
F(x)=sum(i=0
to n, A(2i)(x(2n-2i))) es un n-deg polinomio con coeficientes
reales. Y
1.
Todas las raices de F(x) ie un número imaginario puro.
2.
sum(i=0 to n, A(2i)A(2n-2i)) £ ((2n)!/(n!)2)A(0)A(2n)
Encontrar
todos los polinomios (x).
25. Para los números naturales n(³ 6), m. X={1,2,...,n} A1,A2,...,Am es un grupo
de 5 elementos subconjunto de X.
Si m>n(n-1)(n-2)(n-3)(4n-15)/600, probar que existe 1£
i1 < i2 <... < i6 £ m, tal que |Union(j=1 to 6, A(ij))|=6.
26.
Hay 1997 cápsulas de cierta medicina, y en tres frascos A, B
y C tanto como 1997, 97, 17 cápsulas respectivamente. Al comienzo todas
las cápsulas se colocan en la frasco A, y los tres frascos estan
cerrados. Cada cápsula contiene 100 grageas. Cuando un frasco se abre,
todas las cápsulas pierden una gragea. Una persona quiere tomar toda la
medicina, pero cada día él puede abrir solo un frasco, tomar una cápsula,
mover algunas cápsulas dentro de los frascos, y luego cerrarlos.
Encontrar el mínimo de grageas que el perderá.
27.
Considere
el ángulo XOY y P dentro de este ángulo. Trace la linea d pasando por
P usando una regla y un compas de manera que el área de OAB es OP2
donde A y B son las intersecciones de OX y OY con d.
28.
Probar que el polinomio x4 - 1993x3 +
(1993 + m)x2 - 11x + m tiene al menos una raiz entera.
29.
Para todas las permutaciones (a1, a2,
... , an) del conjunto {1, 2, .. n} donde n es un entero
positivo dado, encontrar el valor máximo valor de la suma:
|a1
- a2| + |a2 - a3| + ... + |an-1
- an|
30. Encontrar el menor entero n > 4 de tal manera que exista
un conjunto de personas con las siguientes propiedades:
1.
Dos personas cualquiera que son amigos, no tienen amigos en común.
2.
Dos personas cualquiera que no son amigos tienen exactamente dos
amigos en común.
Asumir
que si A tiene a B como su amigo entonces, B también tiene a A como su
amigo.
31.
Encontrar
el valor de la expresión
(...(((2*3)*4*5)*...)*1995,
donde x * y = (x + y)/(1 + xy) para todo x, y positivos.
32. Considere dos círculos C1 y C2 con
centros O1 y O2 and radii r1, r2,
respectivamente (r2 > r1) los cuales se
intersectan en A y B tales que O1AO2 = 90°. La
recta O1O2 corta C1 en C, D y C2
en E, F, donde E se encuentra entre C y D mientras que D se encuentra
entre E y F. La recta BE corta a C1 en K e intersecta la
recta AC en M, mientras que BD corta C2 en L y AF en N.
Probar que:
r2/r1
= (KE/LM).(LN/ND)
33.
Sean a, b enteros positivos tales que a > b y a+b es par.
Probar que las raíces de la ecuación
x2
- (a2 - a + 1)(x - b2 - 1) - (b2 + 1)2
= 0
son enteros positivos, ninguno de los cuales es un cuadrado perfecto.
34.
Sea n
un entero positivo y S el conjunto de todos los puntos (x,y) donde x e y
son enteros positivos con x £
n, y £ n.
Asumamos que T es el conjunto de todos los cuadrados cuyos vértices
pertenecen a S. Denotemos por ak (k ³ 0) el
número de pares de puntos en S los cuales son vértices de exactamente
k cuadrados de T. Probar que a0 = a2 + 2a3.
35.
Demuestre
que en cualquier triángulo el centro del círculo circunscrito esta
cerca del baricentro del triángulo que en el círculo inscrito.
36.
Sea
p un número primo mayor que 5. Demostrar que el conjunto
X = {p - n2 | n entero y n2 , p} contiene dos
elementos diferentes x e y, diferentes de 1, tal que x divide a y.
37.
Sea ABCDE un pentágono convexo y sean M, N, P, Q, S los
puntos medios de sus lados nombrados como AB, BC, CD, DE, EA. Si las líneas
DM, EN, AP y BQ tienen un punto común entonces este punto pertenece a
CS.
38.
Apruebe
o desapruebe la siguiente declaración: Hay un subconjunto A del conjunto
{1, 2, 3, ... , 21996 - 1}
con al menos 2012 elementos de tal manera que 1 y 21996 - 1
pertenecen ambos a A, y cada elemento de A \ {1} es la suma de dos, (no
necesariamente distintos) de A.
39.
Sea O un punto interior de un cuadrilátero convexo ABCD de manera que satisfaga
OA2 + OB2 + OC2 + OD2
= 2S(ABCD)
Donde
S(ABCD) denota el área
de ABCD.
Demuestre que ABCD es un cuadrado con centro O.
40.
Sea A = {A1,
A2, ... , Ak},
(k>1), una colección de subconjuntos de un n-set S tal que para cualquiera x,
y Î S hay
un Ai Î
A tal que x Î
Ai y y Î
Ai or x Î
Ai y y Î
Ai. Demuestre que K
³
[log2 n].
41.
Tres círclulos G, C1 y C
estan dados en un plano. C1
y C2 tangente G internamente en los puntos B
y C, respectivamente. Además C1
y C1 tangentes una
a la otra externamente a un punto D.
Sea A un punto en el cual una
tangente común de C1
y C2 intersecta G.
Señalado por M hay un segundo punto de intersección de la línea AB y
el cículo C1 y
por N el segundo punto de
intersección de la línea AC y
el círculo C2.
También señalado por K y L un
segundo punto de intersecciónde la línea BC
con C1 y C2,
respectivamente. Demuestre que las líneas AD,
MK y NL son concurrentes.
42.
Encontrar todas las funciones f
: R ®
R tal que
f (xf(x) + f(y))
= (f (x))2 +
y
valga
para todos los x e y.
43.
Demuestre
que en cualquier triángulo el centro del círculo circunscrito esta
cerca del baricentro del triángulo que en el círculo inscrito.
44.
Sea p un número primo mayor que 5. Demostrar que el conjunto
X = {p - n2 | n entero y n2 , p} contiene dos
elementos diferentes x e y, diferentes de 1, tal que x divide a y.
45.
Sea ABCDE un pentágono convexo y sean M, N, P, Q, S los
puntos medios de sus lados nombrados como AB, BC, CD, DE, EA. Si las líneas
DM, EN, AP y BQ tienen un punto común entonces este punto pertenece a
CS.
46. Halle
todas las ternas de enteros (a,b,c) tales que:
a
+ b + c = 24
a2 + b2 + c2 = 210
abc = 240
Fundamente
su respuesta.
47. Sea
P un punto interior del triángulo equilátero ABC tal que:
PA
= 5, PB = 7, y PC = 8
Halle
la longitud de un lado del triángulo ABC.
48.
A
cada entero positivo n se asigna un entero no negativo F(n) de tal
manera que se satisfagan las siguientes condiciones:
(i) f(rs) = f(r) + f(s)
(ii)
f(n) = 0, siempre que la cifra en las unidades n sea 3.
(iii)
f(10) es cero.
Halle
f(1985).Justifique su respuesta.
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